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正态分布分布是什么？它是怎么来的？
中心极限定理
结论：一组随机变量满足独立且同分布，且这个共同的分布具有有限的均值和方差，那么无论这些随机变量本身服从何种分布，当随机变量的数量足够多时（通常认为n>30定理成立，但并不绝对），这些随机变量的和（或它们的平均值）的分布将趋向于正态分布
正态分布是中心极限定理的发展
中心极限定理是什么？
例1:
假设你有100万人身高的数据，你定义样本X，样本大小为50，命令1000人每人制作一个样本X，当你收取1000人的样本均数\(X_n\)时，定义变量为\(X_n\),绘制\(X_n\)的频数分布直方图，你会得到一个钟形曲线，也叫高斯曲线
进化
假设你从赌场获得了一批偏心骰子，这个骰子掷出1的概率为50%，掷出2、3、4、5、6的概率都为10%，投掷10次为1组，记录下每次的结果，你命令1000人每人产生一组结果同时计算骰子10次投掷结果的算数均数，把这个算数均数为\(C_n\),定义变量\(C_n\),绘制变量\(C_n\)的频率分布直方图
目前我的能力限制我无法理解公式的来源，先记住它：
完成上述步骤后，高斯得到了正态分布的密度函数的标准形式：
$ f(x) = e^{-} $
在这里，\(\mu\) 是误差的平均值，\(\sigma^2\) 是方差，它们分别代表了测量误差的中心位置和分布的宽度。
正态分布的3σ（3西格玛）法则，也称为经验法则，是基于正态分布性质的一个规则，它描述了数据点分布在其平均值周围的情况。这个法则是从正态分布的数学性质中直接推导出来的。
正态分布的定义
首先，回顾一下正态分布的数学定义：一个随机变量 \(X\) 如果服从一个均值为 \(\mu\)，标准差为 \(\sigma\) 的正态分布，其概率密度函数（PDF）为：
$ f(x) = e^{-} $
3σ法则的来源
正态分布的一个关键特性是其对称性和特定的概率分布形状。3σ法则利用了正态分布的这些性质，具体规则如下：
- 约68.27%的数据点落在 \(\mu - \sigma\) 和 \(\mu + \sigma\) 之间（即平均值一个标准差内）。
- 约95.45%的数据点落在 \(\mu - 2\sigma\) 和 \(\mu + 2\sigma\) 之间（即平均值两个标准差内）。
- 约99.73%的数据点落在 \(\mu - 3\sigma\) 和 \(\mu + 3\sigma\) 之间（即平均值三个标准差内）。
数学推导
3σ法则的数学基础来自于正态分布的积分性质。具体地说，对正态分布的概率密度函数在特定区间内积分，可以得到数据点落在这个区间内的概率。例如，计算随机变量 \(X\) 的值落在 \(\mu - \sigma\) 和 \(\mu + \sigma\) 之间的概率，可以通过下面的积分得到：
$ P(- X + ) = _{- }^{+ } e^{-} dx $
通过对正态分布进行积分，我们可以得到上述的概率值。实际上，这些具体的概率值（68.27%，95.45%，99.73%）来自于正态分布的累积分布函数（CDF），它提供了随机变量取值小于或等于某个值的概率。
但数据的量化需要一个标准，于是标引入准分布，定义变量Z
\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)
绘制变量Z的频率直方图，得到标注的正态分布的曲线
Z值表如下（也叫\(\phi或\Phi\),读作fai）
正态分布的性质
- 均值：
\(\mu_Z = \mu_X + \mu_Y\)
\(\mu_W = \mu_X - \mu_Y\)
- 方差：
\(\sigma_W^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2\)
为什么正态分布中方差只加不减
方差的性质 \(\sigma_W^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2\)，当考虑两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的差 \(W = X - Y\) 时，即使是在它们的差的情况下，方差之和而不是方差之差出现在公式中，这背后的原因与随机变量的独立性和方差的数学性质有关。
独立性
当两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 独立时，它们之间没有相互影响。这意味着一个变量的变化不会影响另一个变量的分布。因此，当我们计算它们的和或差的方差时，我们只需要考虑每个变量自身的变异性，而不是它们之间的相互作用。
方差的定义
方差衡量随机变量和其均值的偏差的平方的平均值，是衡量随机变量分散程度的度量。方差的计算公式为 \(\sigma^2 = E[(X - \mu)^2]\)，其中 \(E\) 表示期望值操作符，\(\mu\) 是随机变量 \(X\) 的均值。
方差的加法性质
对于独立随机变量的和或差，方差的加法性质说明，总的方差是各个随机变量方差的和。数学上，这可以通过方差的定义和随机变量的独立性质推导得出。对于差 \(W = X - Y\)，其方差为：
\[\begin{align*} \sigma_W^2 &= \text{Var}(X - Y) \\ &= \text{Var}(X) + \text{Var}(-Y) \\ &= \sigma_X^2 + \text{Var}(-Y) \end{align*}\]
由于 \(\text{Var}(aY) = a^2\text{Var}(Y)\)（这里 \(a = -1\)），我们有：
\[\begin{align*} \text{Var}(-Y) &= (-1)^2\text{Var}(Y) \\ &= \text{Var}(Y) \\ &= \sigma_Y^2 \end{align*}\]
因此，
\(\sigma_W^2 = \sigma_X^2 + \sigma_Y^2\)
这显示了，即使是随机变量的差，其方差也是组成随机变量方差的总和。这是因为方差衡量的是变异性，而变异性在随机变量相加或相减时是累积的，不考虑方向（正或负）。为什么正态分布中均值有加有减
这是因为随机变量的期望值（均值）具有线性性质。具体来说，随机变量的期望值（或均值）遵循以下规则：
假设 \(X\) 和 \(Y\) 是两个随机变量，且 \(\mu_X\) 和 \(\mu_Y\) 分别是它们的期望值（均值）。如果我们定义一个新的随机变量 \(W = X - Y\)，那么 \(W\) 的期望值（均值）是 \(X\) 和 \(Y\) 均值的差，即：
\(E[W] = E[X - Y]\)
根据期望值的线性性质，我们有：
\(E[X - Y] = E[X] - E[Y]\)
这就是说：
\(\mu_W = \mu_X - \mu_Y\)
原因解释：
期望值的线性性质：这个性质说明，任意两个随机变量 \(X\) 和 \(Y\) 的线性组合的期望值等于各自期望值的相同线性组合。简单来说，就是你可以将期望值的运算“分发”到随机变量的运算中。
独立与非独立随机变量：值得注意的是，这个性质不依赖于 \(X\) 和 \(Y\) 是否独立。无论 \(X\) 和 \(Y\) 之间的关系如何，\(W = X - Y\) 的期望值都是 \(\mu_X - \mu_Y\)。