极限
极限描述的仅仅是一个函数趋近于某个点的行为—可汗学院-微分
极限值与那个点没有任何关系
极限的估算办法
- 使用图像
- 使用表格
- 计算两个方向临近某点的值
极限的定义
微分学中的极限定义是数学分析中非常基础且关键的概念。极限的定义有多种形式，其中最经典的是ε-δ（epsilon-delta)定义，用于确立函数在某点的极限。以下是其基本形式：
函数在点的极限定义（ε-δ定义）
设函数 \(f(x)\) 在点 \(a\) 的一个去心邻域内有定义。若对于任意给定的正数 \(\epsilon\)（无论它多么小），总存在一个正数 \(\delta\)，使得当 \(x\) 满足 \(0 < |x - a| < \delta\) 时，有 \(|f(x) - L| < \epsilon\)，则称数 \(L\) 是 \(f(x)\) 当 \(x\) 趋向于 \(a\) 时的极限，记为
\(\lim_{x \to a} f(x) = L\)
直观理解
ε-δ 定义的本质是无论我们希望 \(f(x)\) 的值和其极限 \(L\) 之间的差距多么小（即 \(|f(x) - L| < \epsilon\)），我们总能找到一个足够小的区间 \((a-\delta, a+\delta)\)（去掉点 \(a\)），使 \(x\) 在这个区间内时，\(f(x)\) 与 \(L\) 的差距确实如我们所希望的那样小。
数列的极限定义则强调了，随着数列的项数增加，数列的项越来越接近某个值 \(L\)，并且可以任意接近，只要项数足够大。
这些定义虽然在形式上看起来比较抽象，但它们为微分学和整个数学分析的发展提供了坚实的基础。通过这些精确的定义，数学家能够严格地讨论函数和数列的性质，以及它们随着输入变化或项数增加时的行为。
极限的性质
- 加
- 减
- 乘
- 除
- 若\(\frac 1 0\)，那么极限不存在
- 若\(\frac 0 0\)，那么要想办法继续分析
- 指数性质
极限的计算
法则：
极限的计算法则和导数的计算法则虽然相关，但它们并不完全相同。这两个概念在微积分中都非常基础，但用途和计算方法有所不同。下面简要概述它们的主要区别和联系：
极限的计算法则
极限的计算法则主要关注于当变量接近某个值时，函数的行为。一些基本的极限计算法则包括：
- 和法则：\(\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x)\)
- 乘积法则：\(\lim_{x \to a} (f(x) \cdot g(x)) = (\lim_{x \to a} f(x)) \cdot (\lim_{x \to a} g(x))\)
- 商法则：\(\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)}\)，前提是\(\lim_{x \to a} g(x) \neq 0\)
- 复合函数极限法则：如果\(\lim_{x \to a} g(x) = b\)，且\(\lim_{y \to b} f(y)\)存在，则\(\lim_{x \to a} f(g(x)) = \lim_{y \to b} f(y)\)
导数的计算法则
导数的计算法则关注的是函数在某一点的瞬时变化率。导数的一些基本计算法则包括：
- 和法则：\((f(x) + g(x))' = f'(x) + g'(x)\)
- 乘积法则：\((f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)\)
- 商法则：\(\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2}\)
- 链式法则：如果\(y = f(u)\)且\(u = g(x)\)，则\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
相关与区别
- 相关性：导数的定义本身就基于极限的概念，即导数可以被定义为一个极限。例如，函数\(f(x)\)在点\(x=a\)的导数定义为\(\lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\)。
- 区别：尽管导数的定义依赖于极限，但计算导数的法则专门针对函数的瞬时变化率，而计算极限的法则更广泛，涵盖了函数值随变量变化趋向某一值的行为。
简而言之，虽然导数和极限都是微积分中的核心概念，它们的计算法则旨在解决不同类型的问题，但导数的计算是建立在极限概念之上的。
- 需先计算复合函数正负极限，用这两个数字一起确定复合函数是否存在极限
- 连续的函数可以直接代入求极限
代数求极限
我认为，代数求极限的本质是将函数a转化为函数b，因为函数a转化为函数b时，函数a上的某些没有意义的点在函数b突然有了定义，而且还连续
- 因式分解
- 有理化
- 进行有理化前注意函数的定义域
- 有理化的目的是避免走\(\frac 0 0\)
- 用恒等式求三角函数极限
- \({\cos x}^2+{\sin x}^2 = 1\)
- \(\cos 2x ={cos x}^2-{sin x}^2=1-2{sin x}^2=2{cos x}^2-1\)
夹逼定理求极限
- \({lim}_{x\rightarrow0}\frac{\sin{x}}{x}=1\)
- \(\operatorname*{lim}_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos{x}}{x}=1\)
无穷大的极限
- 商的极限
中值定理
对于函数y，在闭合的区间[a,b]内连续，若有c在区间[a,b]内，那么一定存在\(y(c)在y(a)与y(b)之间\)
导数
切线：瞬时变化率
割线：平均变化率
定义
导数是微积分学中的一个基本概念，用于衡量一个函数在某一点处的变化率。给定一个实值函数\(f(x)\)和一个属于该函数定义域的点\(a\)，\(f(x)\)在点\(a\)处的导数（如果存在）是当\(x\)趋向于\(a\)时，函数增量\(f(x) - f(a)\)与自变量增量\(x - a\)的比值的极限。用数学语言描述，\(f(x)\)在点\(a\)处的导数定义为：
$ f'(a) = _{x a} $
如果这个极限存在，则称函数\(f(x)\)在点\(a\)处可导，并且这个极限值称为\(f(x)\)在点\(a\)处的导数。这个定义也称为函数在某一点的瞬时变化率或斜率。
导数有多种表示方式，如\(f'(x)\)，\(\frac{df}{dx}\)，或者\(\frac{d}{dx}f(x)\)，都用来表示函数\(f(x)\)的导数。
导数的概念可以扩展到高阶导数，即导数的导数。第二导数、第三导数等分别表示函数曲线的凹凸性、变化率的变化率等属性。
导数在物理学、工程学、经济学等多个领域内都有广泛的应用，如表示速度、加速度、力的变化等。
导数可以利用极限的定义计算出来
函数可导，那么函数连续
垂直不能微分，不连续不能微分
导数的计算
幂法则
- \(\frac d{dx}[x^n]=n\cdot x^{n-1}\)
- 多项式求导
- \(\frac d{dx}[x^n]=n\cdot x^{n-1}\)
\(\frac d{dx}[lnx]=\frac 1 x\)
\(\frac d{dx}[e^x]=e^x\)
\(\frac d{dx}[cosx]=sinx\)
指数函数求导
把指数函数转化为\(e^x\)的形式进行求导
对数函数求导
因为lnx导数为1/x，所以将所有的对数函数转化为包含lnx
\(log_a^x=\frac{log_c^x}{log_c^x}\)
导数的性质
导数的乘法性质主要体现在两个重要的规则上：乘积规则和商法规则。这些规则使我们能够计算两个函数乘积或商的导数。
- 乘积规则
假设有两个可导函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，则它们乘积的导数可以用下面的公式来表示：
$ (f(x) g(x))' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x) $
这个规则告诉我们，一个函数乘积的导数等于第一个函数的导数乘以第二个函数，加上第一个函数乘以第二个函数的导数。
- 商法规则
同样，如果有两个可导函数\(f(x)\)和\(g(x)\)，并且\(g(x)\)不为零，则它们的商的导数可以用以下公式表示：
$ ( )' = $
这个规则表明，函数的商的导数等于分子的导数乘以分母，减去分子乘以分母的导数，整个表达式再除以分母的平方。
这两个乘法性质是解决微积分问题时的强大工具，特别是在需要找到复合函数导数时。通过应用这些规则，我们可以处理更复杂的函数，包括那些涉及乘法和除法运算的函数。
链式法则
复合函数可以写为\(w(u(x))\)
\(\frac d{dx}w(u(x))=w'(u(x))u'(x)\)